Álgebra lineal y ecuaciones diferenciales

  1. Álgebra abstracta (16 horas)

    Definición de grupo y de grupo abeliano. Ejemplos. Homomorfismos de grupos. Anillos, ideales y homomorfismos. Anillos de matrices. Dominios euclidianos, dominios de ideales principales y dominios de factorización única. Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm). Teorema de Bézout. Z y el anillo de polinomios sobre un campo en una variable como dominios euclidianos. Descomposición de una matriz cuadrada sobre un dominio de ideales principales (forma de Smith). Factores invariantes de una matriz.

  2. Álgebra lineal (29 horas)

    Espacio dual, aplicación dual. Espacio doble dual. Aniquilador. Transpuesta de una transformación lineal. Valores y vectores propios. Polinomios mínimo y característico de un operador lineal. Teorema de Cayley-Hamilton. Subespacios T-invariantes, operadores nilpotentes, subespacios cíclicos. Matriz compañera. Formas canónicas: Jordan, racional, racional primaria. Funciones de matrices. Exponencial de una matriz. Descomposición de Schur. Matrices unitarias. Formas cuadráticas y matrices hermitianas.

  1. Definiciones básicas (7 horas)

    Orden y grado. Linealidad y no-linealidad. Homogeneidad. Solución de una EDO. Condición de Lipschitz. Existencia y Unicidad local. Intervalo máximo de la solución. Existencia y Unicidad Global. Continuidad de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales. Continuidad de las soluciones con respecto a parámetros.

  2. Ecuaciones lineales de orden arbitrario (8 horas).

    Caso homogéneo: Existen n soluciones linealmente independientes de una EDO de orden n. Matriz de transición de estados. Propiedades. Sistema adjunto y sus propiedades. Principio de superposición.

    Caso no-homogéneo: Fórmula de variación de parámetros. EDO's lineales con coeficientes constantes, polinomio característico, solución homogénea. Solución de EDO lineales con coeficientes constantes no-homogénea. Principio de superposición c/r a condiciones iniciales y c/r a entradas, pero no simultáneamente.

[1] Axler, Sheldon, Linear Algebra Done Right, Springer-Verlag, 1997
[2] Gantmacher, Felix .R., The Theory of Matrices, 1 y 2, Chelsea, 1998
[3] Grossman, Stanley I., Álgebra Lineal, quinta edición, McGraw-Hill, 1996
[4] Halmos, Paul R., Finite-dimentional Vector Spaces, Springer-Verlag, 1974
[5] Herstein, Israel N., Álgebra Abstracta, Iberoamérica, 1988
[6] Herstein, Israel N., Álgebra Moderna, Trillas, 1970
[7] Hoffman, Kenneth & Kunze Ray, Álgebra Lineal, Prentice-Hall, 1973
[8] Lipschutz, Seymour, Álgebra Lineal, Schaum-McGraw-Hill, 1971
[9] Nering, Evar D., Linear Algebra and Matrix Theory, second edition, Wiley, 1970
[10] Boyce, W. E y R. C. Di Prima. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4ta. Ed. Limusa-Wiley, 2003
[11] Hurewicz, W. Lectures on Ordinary Differential Equations. MIT Press, 1958. Reprint: Dover, 1990